Al oir la radio o leer los periódicos cada día, encontramos noticias como las que se muestra en el cuadro 1, y creo que la mayoría de las personas no se detiene a pensar qué se quiere decir con el término promedio en cada una de ellas. Promedio tiene un significado matemático muy preciso, que únicamente se está usando bien en los dos últimos extractos del cuadro. Además, en el lenguaje común tiene otras acepciones.
| CUADRO 1. Comentarios de la prensa en torno a promedio |
- “… informó que un promedio de 19 localidades quedaron incomunicadas luego de la caída de un puente ubicado en…”
- “… expuso que el costo del proyecto haciende (sic) en promedio a 22 millones 884 mil 240 pesos, recursos que se obtendrán a través de un crédito a Banobras…”
- “Se tiene previsto atender un promedio de cinco mil personas de esa comunidad de Belén de Gavia, San Carlos del Jagüey, Lourdes y el Camaleón.”
- “En Tamaulipas, según la estadística que se tiene, existen 286 mil 861 personas con edad promedio entre los 60 y 64 años, mientras que de 65 años y más existe una población de 195 mil 108 habitantes…”
- “La investigación concluyó que un estudiante promedio de Inglaterra y Gales terminará su carrera universitaria con una deuda…”
- “El 2014 se ubicó como el año con el mayor número de movilizaciones en la capital del país, al contabilizar nueve mil 111 (sic) marchas, es decir, un promedio de 24 por día…”
- “Este domingo, el dólar alcanza un precio promedio de 17.65 pesos a la venta y de 17.05 pesos a la compra, en casas de cambio del Aeropuerto Internacional «Benito Juárez» de la Ciudad de México (AICM).»
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La definición del Diccionario de la lengua española, de la Real Academia Española (RAE) es la siguiente:
Promedio: Del latín pro medio “por término medio”.
- m. Punto en que algo se divide por la mitad o casi por la mitad.
- m. Término medio (cantidad igual o más próxima a la media aritmética).
Conviene hacer notar que la primera acepción del diccionario no suele usarse en México; de hecho yo no la conocía y no la encontré en ninguno de los artículos que revisé en más de diez periódicos.
La segunda acepción remite a la definición del término promedio en matemáticas igual que la media aritmética, y es la siguiente:
Media aritmética
- f. Mat. Cociente de dividir la suma de varias cantidades por el número de ellas.
En uno de los párrafos citados se habla del individuo promedio, pero en el diccionario de la RAE no se encuentra su significado, pues en España se usa el término individuo medio y en este caso la definición es:
Individuo promedio:
4. adj. Que corresponde a los caracteres o condiciones más generales de un grupo social,
pueblo, época, etcétera.
Primero veamos cuál es el significado matemático de promedio o media aritmética. La definición habla de suma de varias cantidades, eso indica que para promediar se requiere más de una cantidad y, al hablar de suma, las cantidades están dadas en números en alguna unidad, la misma para todas, pues, como bien dice el dicho, no se puede sumar peras con manzanas. Así, podemos tener el peso en kilos de diversos paquetes, el contenido en litros de ciertos recipientes, la altura en metros de niños de un salón o los presupuestos para varias obras en pesos (para el caso de México). Además, se habla del cociente de la suma entre el número de cantidades; es decir, el número de sumandos. Esto significa que, si tenemos las alturas de 5 niños, por ejemplo: 1.25m, 1.34m, 1.18m, 1.26m y 1.20m, su promedio se obtiene haciendo la suma: 1.25+1.34+1.18+1.26+1.20=6.23 y dividiendo el resultado entre 5, aquél será, aproximadamente, 1.24.
En general, para la calcular el promedio de n cantidades que denotaremos por a1, a2, a3,… an, debemos hacer la suma a1+a2+an+…+ an y el resultado dividirlo entre n. La notación que usamos significa que n puede ser cualquier número, como 5, en el ejemplo anterior, y las ai, es decir, cualesquiera de los sumandos anteriores, son las cantidades por promediar, como las alturas en el mismo ejemplo.
En el primero, hablan de un promedio de 19 localidades; para que tuviera sentido tendrían que promediar grupos de comunidades de diferentes regiones que hubieran quedado incomunicadas por la caída del puente; por ejemplo, 18 comunidades del sur y 20 del norte, pero creo que el periodista quiso decir aproximadamente 19 comunidades.
En el segundo, se habla únicamente de una cantidad, por lo que no tiene sentido hablar de promedio y creo que aquí también está usado promedio en vez de aproximadamente.
En el tercer extracto, promedio puede estar bien usado, pero ahí deberían decir qué grupos están promediando; por ejemplo, puede ser el promedio de las personas atendidas al día, a la semana o al mes.
El cuarto extracto dice que hay una cantidad precisa de personas con edad promedio entre 60 y 64 años, y que de 65 o más hay otra cantidad también exacta. Aquí promedio sale sobrando, y debería decir una edad entre 60 y 64 años, pues podemos tener una población con personas de cualquier edad con promedio entre 60 y 64 años. Un ejemplo muy simple es una población con los siguientes individuos: 1 de 1 año, 1 de 3 años, 1 de 25 años, 1 de 27 años, 2 de 65, 4 de 75, 5 de 80 y 3 de 90; en este caso, el promedio está dado por 1+3+25+27+2x65+4x75+5x80+3x90=1156 dividido entre 18, que es aproximadamente, 64 años.
En el quinto, hablan del estudiante promedio, es decir están usando la acepción de individuo medio.
En los dos últimos, el promedio está bien usado en el sentido matemático del término, pero la escritura del número de marchas llama la atención: 9 mil 111, ¿por qué no escribieron 9,111 o nueve mil ciento once? Lo único que se me ocurre es que escribir con cifras números mayores a mil (y leerlos) es complejo para mucha gente y que es más fácil escribir 111 que ciento once.
El promedio es importante, pues una sola cifra nos da una descripción de la característica que nos interesa de una población dada; por ejemplo, las estaturas de los niños de algún grupo. El promedio puede ser una buena descripción, pero también puede no serlo. De hecho, se tiende a creer que, si el promedio de algunas cantidades es 250, entonces todas las cantidades tendrán un valor cercano a 250. Sin embargo, esto es falso, pues, si tenemos las cantidades 1 y 499, su promedio es 250. Éste es un ejemplo bastante extremo, pero no es raro que el promedio no describa de manera adecuada las cantidades promediadas y, por ello, se requiere tener una idea a priori sobre las cantidades que estamos promediando.
Si es el promedio del tipo de cambio del dólar, en distintos bancos en un día fijo, lo más probable es que sea una muy buena medida, pues no suele haber mucha variación; es decir, la diferencia entre el tipo de cambio más alto y el más bajo es pequeña. También es una buena medida si hablamos del promedio de las edades de los niños de cierto grado escolar.
En el caso de las marchas en la Ciudad de México, la variación puede ser bastante grande; es posible que en muchos días no haya habido marcha alguna, y en otros haya habido más del doble o del triple que el promedio.
Notemos que un caso excepcional puede modificar mucho el promedio. Supongamos que tenemos una población con 50 familias, de las cuales, 20 tienen un ingreso mensual de $6,000.00, 15 lo tienen de $5,000.00, 14 familias más reúnen $4,000.00 al mes y hay una familia cuyo ingreso mensual es de $1’000,000.00. Entonces, si decimos a alguien que el ingreso promedio mensual de las familias de la población es de $25,020.00, supondrá que es una población acomodada, pero si le decimos que el promedio de ingresos mensual de 49 familias es de $5,122.45 y hay una con ingreso de $1’000,000.00, estaremos dando una descripción muchísimo más cercana a la realidad.
Para dar mejores descripciones, la estadística define la varianza con respecto al promedio y otras formas de resumir las cantidades, como son la mediana y la moda, pero esa ya es otra historia.
Para finalizar, comentaré el último párrafo del cuadro 2. Si la estatura promedio es de 1.57 m, entonces, a menos que todas midan exactamente eso, habrá mujeres que midan menos y no tiene sentido decir que eso se debe a factores que no se atienden. Tampoco es claro por qué únicamente se refieren a 95%. Tendría más sentido la noticia si dijera: … la estatura mínima final adulta para 95 por ciento de las niñas en nuestro país debería ser de 1.57 m.
| CUADRO 2. Más extractos de noticias de periódicos |
- “Sin declarar, 55% de funcionarios. El contralor mencionó que las declaraciones las deben hacer un promedio de 40 funcionarios que ingresaron en octubre, de los cuales, sólo 18 la han realizado.”
- “Asimismo, el señor…, reconoció el apoyo que ha recibido desde hace un promedio de 6 años que puso en marcha junto con su familia un invernadero de tomate.”
- “Un promedio de cuatro niños resultaron lesionados cuando esperaban a sus padres, cuando un hombre de la tercera edad que aparentemente perdió el control de su vehículo, los arrolló.”
- “Explicó que a la fecha son dos colonias en las que ya se instalaron lámparas ahorradoras; sin embargo, en promedio la dependencia municipal recibe hasta 500 solicitudes de reemplazo de luminarias que están dañadas, o incluso por falta de alumbrado.”
- “¿Qué puede significar hoy para un mexicano promedio ‘mover a México’ o declarar al país ‘nación imparable’?”
- “Añadió que por lo menos 32 municipios registraron nieve durante la noche del sábado y madrugada del domingo, teniendo zonas con precipitaciones de hasta 25 centímetros de acumulación de nieve, y un promedio de 15 en todos los municipios.”
- “Los especialistas explicaron que la estatura promedio final adulta para 95 por ciento de las niñas en nuestro país debería ser de 1.57 m, mientras que en el caso de los niños en 1.68 m, pero que muchos no llegan a esa talla como consecuencia de múltiples factores, que hasta este momento no se atienden.”
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