Yitang Zhang

En abril de 2013, Yitang Zhang, un matemático prácticamente desconocido, asombró a los estudiosos del tema al demostrar que existe una cantidad infinita de parejas de primos, tales que los primos en cada pareja están separados por una diferencia menor o igual a 70 millones. Por ejemplo, las parejas de primos (1, 19), (3, 19), (5, 17), (1609, 1627), (7’104,729) cumplen con esta condición, y lo que establece el teorema de Zhang es que podemos encontrar una infinidad de parejas de primos con esta propiedad. La conjetura de los primos gemelos quedaría demostrada, si se consigue disminuir el valor de 70 millones hasta 2. La relevancia del resultado y el motivo por el que muchos expertos lo consideran un avance espectacular es que se trata ¡del primer resultado en la historia! en el cual se demuestra que hay una cantidad infinita de parejas de primos cuya diferencia, entre el primo mayor y el primo menor de cada pareja, es menor o igual a un número específico (70 millones).

El trabajo de Zhang se apoya, entre otros resultados, en un artículo publicado en 2009 por Daniel Goldston, de la San Jose State University; János Pintz, del Alfréd Rényi Institute of Mathematics, en Budapest, y Cem Yildirim, de la Bogazici University, en Estambul.

Otro dato digno de mencionar es que el artículo en el que Zhang presentó su avance fue tan claro y contundente (al menos para los expertos), que el proceso de revisión y aceptación en la revista Annals of Mathematics (una de las de mayor prestigio en el área) fue de tan sólo dos meses.

Inmediatamente después de la publicación de dicho artículo, varios investigadores, entre ellos Scott Morrison, Andrew Sutherland, János Pintz y Terence Tao —este último, ganador de la medalla Fields, 2006, considerado por muchos como “el premio Nobel de las matemáticas”—, comenzaron a utilizar y mejorar la técnica de Zhang para determinar el menor valor entero posible de M para el que la siguiente afirmación resulta verdadera: “existe una cantidad infinita de parejas de primos cuya diferencia entre el primo mayor y el primo menor de cada pareja es menor o igual que M”. Observe que la conjetura de los primos gemelos corresponde al caso particular en que M=2 y el teorema de Zhang corresponde al caso en que M=70’ 000, 000.

Para principios de junio de 2013, János Pintz ya había conseguido verificar la afirmación para M=2’530,338.

Timothy Gowers

En junio de 2013, Tao propuso trabajar masivamente y en línea, en el proyecto Polymath8, para reducir el valor de M. Los proyectos Polymath surgen de una propuesta hecha por Timothy Gowers (ganador de la medalla Fields, en 1998) con el objetivo de hacer de las matemáticas una actividad multicolaborativa a través de Internet, por lo que, hasta la fecha, se han desarrollado con éxito ocho de estos proyectos (incluido Polymath8).

Terence Tao

El objetivo de Polymath8 era analizar, refinar y aplicar la técnica utilizada por Zhang, de manera organizada y sistemática, por una cantidad masiva de investigadores con el fin de confirmar la afirmación para valores de M cada vez más pequeños. La participación en el proyecto era libre y cualquiera que tuviera alguna aportación, sugerencia o idea podía solicitar una cuenta para poder presentarla en un blog dedicado al proyecto.

Cuando Polymath8 empezó a trabajar, fue sumamente interesante y sorprendente ver en el blog cómo el valor de M disminuía de manera continua y veloz; también se podía observar el proceso de creación y/o mejoras de las técnicas matemáticas requeridas para conseguir disminuir dicho valor.

Para agosto de 2013, el récord iba en M=4,680 y los investigadores participantes en el proyecto se dieron cuenta de que, con esa línea de investigación, el esfuerzo requerido para seguir generando progresos sería cada vez más difícil, por lo que el grupo decidió dar por terminado el proyecto y comenzar la escritura de sus resultados (proceso que también se pudo seguir por Internet en la página titulada “Polymath, Bounded Gaps between Primes” cuya dirección electrónica aparece en la bibliografía).

Durante 2013 ocurrieron los avances más espectaculares hacia la demostración de la conjetura de los primos gemelos.

En tanto, James Maynard, un estudiante de posdoctorado en la Universidad de Montreal, volvió a sorprender a la comunidad al anunciar, en octubre de 2013, durante una reunión académica realizada en el Instituto de Matemáticas de Oberwolfach, Alemania, una nueva técnica que permitió disminuir el valor de M hasta 700.

El anuncio fue confirmado en noviembre siguiente, mediante un manuscrito de apenas 23 páginas, publicado en “arXiv.org”, en el cual Maynard reportaba 600 como nuevo récord (el manuscrito del proyecto Polymath8 es de más de 140 páginas). Es importante mencionar que la técnica de Maynard también está basada en ideas presentadas en el artículo de Goldston, Pintz, y Yildirim, pero es diferente a la usada por Zhang y el equipo Polymath8. En particular, la técnica de Maynard es relativamente más sencilla que la de Zhang y, como lo ha señalado Tao, también es más general, ya que puede aplicarse a la siguiente versión generalizada del problema de los primos gemelos: suponga que ahora consideramos ternas de primos consecutivos, en lugar de parejas. Por ejemplo (3, 5, 7), (5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), etc. Note usted que, en cada uno de esos casos, la diferencia entre el primo mayor de la terna y el menor es de un máximo de 6.

Tal como ocurre con los primos gemelos, en este caso también se conoce una gran cantidad de ternas de primos consecutivos, cuya diferencia entre el número mayor de la terna y el menor es 6 o menos. Igual que antes, para este caso también existe una conjetura, la cual afirma precisamente eso: que existe una cantidad infinita de ternas de primos consecutivos, cuya diferencia entre el primo mayor de la terna y el menor es 6 o menos. Más aún, este fenómeno parece repetirse cuando, en lugar de pares o ternas, se considera las k-tuplas de primos consecutivos (k entero y mayor que 3). Es decir: k representa un número entero mayor que uno, y la tupla es una secuencia de valores agrupados; así tenemos dupla, tripla, cuádrupla, quíntupla…, por ejemplo (2, 3, 5, 7) es una cuádrupla o 4-tupla.

La generalidad de la técnica de Maynard arriba mencionada indica que dicho método puede ser aplicado para establecer resultados análogos en el caso de k-tuplas de primos consecutivos. Por ejemplo, usando la técnica de Maynard, se ha establecido que existe una cantidad infinita de ternas de primos consecutivos cuya diferencia entre el primo mayor y el menor es menor o igual que 395,122.

A pesar de las ventajas que presentaba el método de Maynard, el trabajo del grupo Polymath8 no fue en vano, pues se establecieron varios resultados, lo que representa un avance en el área de la teoría analítica de los números.

En noviembre de 2013 arrancó una segunda etapa del proyecto Polymath8, en la que Maynard aceptó colaborar, con el objetivo de reunir esfuerzos y utilizar lo mejor de las técnicas de Maynard y de Zhang. Desafortunadamente, algunos análisis teóricos hechos por varios expertos —incluidos los integrantes del grupo— mostraron que cualquier combinación de ambas técnicas no podría disminuir el valor de M hasta el valor esperado de 2, por lo que, para lograrlo, se requerirá de otra innovación matemática. A la fecha, en que la presente nota fue escrita, el proyecto Polymath8 aún está en proceso y el récord en el mes de marzo de 2014 fue de M=252.

A la fecha, en que la presente nota fue escrita, el proyecto Polymath8 aún está en proceso y el récord en el mes de marzo de 2014 fue de M=252.

Yitang Zhang obtuvo su doctorado en la Universidad de Purdue, en diciembre de 1991, y posteriormente se desempeñó en varias actividades no académicas. Fue hasta 1996 que consiguió un puesto en la Universidad de New Hampshire, donde actualmente trabaja.

Gracias a su artículo, Zhang recibió el premio Ostrowski 2013, además, junto con Goldston, Pintz y Yildirim, recibió el premio Frank Nelson Cole, en Teoría de Números 2014; un reconocimiento otorgado por la Sociedad Matemática Americana a los autores de un artículo excepcional de investigación en teoría de números, publicado en los últimos seis años. Otro premio que Zhang recibió fue el Rolf Schock Prize in Mathematics 2014.

◂ Goldston, D. A., J. Pintz y C. Y. Yildirim (2009). “Primes in Tuples I”. Ann. of Math. (2), 170(2): 819-862.

◂ Maynard, J. “Small Gaps between Primes”, arXiv:1311.4600v2, 2013. Disponible en http://arxiv.org/pdf/1311.4600v2.pdf.

◂ Polymath, “Bounded Gaps between Primes”. Disponible en: http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes. Consultada 06/ marzo/2014.

◂ Ribenboim, P. (2004). The Little Book of Bigger Primes, 2.a ed. Springer-Verlag.

◂ Zhang, Y. (2014). “Bounded Gaps between Primes”. Ann. of Math., 179 (3): 1121-1174.